DARKROOM

1. ε-δ 논법의 기원 '극한' 개념이 활용되는, 이 개념의 기원이 된 대표적인 문제로 접선문제와 속도문제가 있다. 접선문제는 접선의 기울기를 구하는 게 어려워서 할선의 기울기를 극한으로 보내는 문제이고, 속도문제는 순간속도를 계산하는 게 어려워서 평균속도를 극한으로 보내는 문제이다. 둘 다 값을 간접적으로 계산하려 '극한'이라는 개념을 등장시켰고, x값을 원하는 지점까지 점점 다가가게 함으로써 수렴하는 값을 도출하는 내용이었다. 역사적으로 접선문제와 속도문제는 '극한' 개념의 핵심 출발점 중 하나가 맞다. 18세기까지 뉴턴과 라이프니츠를 중심으로 '무한히 작은 변화량'이라는 직관을 이용하여 '극한'이라는 개념을 정의하고 미적분이라는 학문을 정립했다. 그당시까지는 현대에 논하는 '극한의 엄밀한 정의'..

스튜어트의 미분적분학과 같은 기초미적분 책을 읽다보면, 대수적인 연산을 하도록 요구하는 구절을 심심찮게 볼 수 있다. 당연히 모든 연산이 대수적이지만, 노골적으로 'algebraically'라는 단어를 쓰며 이를 강조하는 구절이 몇몇 보인다. 흔히 '대수적으로'라는 말을 중고등학교 교육과정에서, 그리고 대학에서도 기초미적분학 수준에서 잘 쓰지 않고 있기에, 해석학 첫걸음을 내딛으려는 학생들에게 이 단어는 약간은 어색해보일 수 있다. '대수학'은 집합과 그 집합에 대한 연산으로부터 정의되는 '대수적 공리'에 의해 정당화된 여러 법칙들을 배우는 학문이라 할 수 있다. 이에 의하면 '대수적으로 연산한다'는 말은, '대수적으로 잘 정의된 실수 영역 ℝ에서 연산한다'는 것을, 즉 'algebraically we..

함수의 벡터화함수공간= 함수를 원소로 가지는 집합= 두 고정된 집합 사이의 함수들의 집합= 함수를 벡터로 봄함수를 벡터로 보면, 함수도 벡터처럼 연산 가능(1) 덧셈: (f + g)(x) = f(x) + g(x)(2) 스칼라곱: (c·f)(x) = c·f(x)(3) 내적: ⟨f, g⟩ = ∫ f(x)g(x) dx함수공간의 예시:(1) 다항식 공간 : {a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ}(2) 르베그 공간 : 측도 공간에서 절댓값의 p제곱이 르베그 적분 가능한 함수공간.(3) 바나흐 공간 : 완비성을 갖춘 노름 공간. 힐베르트 공간의 일반화된 형태.(4) 힐베르트 공간 : 완비내적공간. 내적을 사용해 길이와 각도를 정의 가능. 함수 연산 예시(1) 덧셈f(x) = x², g(x) = 2x..